TS Võ Hoàng Hưng
Trong khoa học, các định luật bảo toàn là những định luật cơ bản nhất của tự nhiên và vật lý. Về mặt toán học, bài toán Cauchy cho Định luật bảo toàn vô hướng có thể thừa nhận nhiều nghiệm yếu, và để loại bỏ các nghiệm yếu không có ý nghĩa vật lý, các nhà khoa học thường áp đặt một loại điều kiện gọi là “điều kiện entropy” để có đạt được sự duy nhất nghiệm và nghiệm đó cũng được gọi là “nghiệm entropy”. Trong trường hợp một chiều, một trong những cách tiếp cận cổ điển để đạt được “nghiệm entropy” là chuyển phương trình về dạng bài toán Cauchy có dạng phương trình Hamilton-Jacobi và ứng với các điều kiện đặt ra, sau đó dùng công thức Lax-Oleinik để tìm nghiệm cho bài toán. Hơn nữa, nghiệm tìm được sẽ có tính chất là phần không âm của đạo hàm theo biến không gian của nó sẽ bị chặn hầu như khắp nơi và đó chính là điều kiện entropy trong trường hợp một chiều.
Bằng cách không áp dụng điều kiện entropy, côn trình nghiên cứu của TS Hưng và TS Seonghak Kim (Đại học quốc gia Kyungpook, Daegu, Hàn Quốc - đồng tác giả) đã xây dựng nghiệm bị chặn hoàn toàn cho bài toán Cauchy của Định luật bảo toàn vô hướng một chiều thỏa mãn các tính chất như: dao động tương đối bên trong giá của nó với điều kiện đầu không hằng số, liên tục và có giá compact. Tính thú vị nhất của nghiệm được xây dựng là sẽ không đâu liên tục. Tiếp đó, bài báo đã sử dụng phương pháp tích phân lồi của Müller and Šverák để giải bài toán Dirichlet trên miền chữ nhật theo không - thời gian bằng cách chuyển phương trình gốc về một dạng bao hàm thức vi phân có dạng Hamilton-Jacobi.
Để làm điều này, công trình đã triển khai xây dựng một nghiệm dưới thích hợp bằng cách giải tường minh một phương vi phân thường và sử dụng nó để lắp vào một sơ đồ gần đúng nhằm bảo toàn sự dao động của nghiệm. Trái ngược với các nghiên cứu cổ điển trước đây, công trình nhằm tìm ra loại nghiệm không entropy của phương trình nhưng vẫn bảo toàn sự dao động tương đối bên trong giá của nó theo không - thời gian. Hệ quả chính của sự dao động đó là nghiệm của phương trình có một sự kỳ dị cực kỳ đặc biệt, đó là bị chặn nhưng không đâu liên tục bên trong giá của nó. Để xây dựng loại nghiệm “hoang dã” như vậy cho phương trình này, các tác giả đã lấy ý tưởng từ việc chuyển một phương trình định luật bảo toàn phức tạp về dạng phương trình Hamilton - Jacobi mà có thể được đặt một cách tự nhiên trong các bao hàm thức vi phân. Tiếp đó, bài báo đưa ra một nghiệm dưới thích hợp cho các bao hàm thức vi phân thỏa mãn điều kiện đầu và điều kiện biên tương ứng với bài toán Dirichlet trên miền chữ nhật có dạng không - thời gian.
Điểm đặc biệt là không áp đặt bất cứ tính lồi nào cho hàm thông lượng mà chỉ đòi hỏi một tính trơn nhẹ gần 0 để giải một phương trình vi phân thường một cách tường minh. Trong khi tính toán, nhóm tác giả đã nhận thấy, tính trơn đó có thể làm nhẹ bớt hoặc thậm chí lược bỏ nhưng không theo đuổi một điều kiện tối ưu mà nhằm tới có một lời giải rõ ràng, trong sáng nhất. Lớp hàm thông lượng cơ bản thỏa mãn các đòi hỏi về tính trơn đặt ra là lớp hàm của phương trình Burger có dạng (mà ban đầu nhóm tác giả chỉ đòi hỏi đây không phải hằng số, liên tục và có giá compact).
Trong công trình nghiên cứu của mình, TS Hưng đã đề xuất xây dựng ý tưởng và giải quyết bài toán đặt ra bằng cách chuyển bài toán gốc về việc giải bài toán Dirichlet trên miền chữ nhật theo không - thời gian bằng phương pháp tích phân lồi và đó cũng là chìa khóa để xây dựng nghiệm toàn cục cho phương trình luật bảo toàn. Đồng tác giả là TS Seonghak Kimđã hỗ trợ xây dựng các nghiệm dưới và chuyển bài toán ban đầu về dạng các bao hàm thức vi phân có dạng Hamilton-Jacobi để tìm nghiệm yếu không đâu liên tục của phương trình.
Bài báo gồm 25 trang, được triển khai và hoàn thiện trong gần 2 năm và được chấp nhận đăng trong một thời gian ngắn (khoảng 2 tháng) đã đạt mục tiêu nghiên cứu một vấn đề cơ bản của toán học và ứng dụng của nó và có ý nghĩa vật lý cao. Bài báo nhận được sự hỗ trợ kinh phí từ Trường Đại học Tôn Đức Thắng và Quỹ Nafosted.
|
TS Võ Hoàng Hưng đã từng đoạt giải Ba trong Kỳ thi học sinh giỏi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2004-2005; Học bổng Marie Curie dành cho các nhà nghiên cứu trẻ tại châu Âu 2011-2014 và năm 2014 nhận học vị Tiến sỹ Toán học tại Đại học Pari 6 (Cộng hòa Pháp) dưới sự hướng dẫn của GS Henri Berestycki - một nhà toán học lớn trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Anh đã từng tham gia nghiên cứu tại Đại học Chicago (Mỹ) và Đại học Remin (Trung Quốc), đồng thời cũng là báo cáo viên được mời của nhiều kỳ đại hội toán học uy tín trong và ngoài nước như: Đại hội toán học của Viện Toán học Mỹ 2018, Hội nghị quốc tế về hệ động lực không địa phương (Trung Quốc) 2018, Đại hội toán học Việt Nam (2018), Đại hội Toán học Việt - Mỹ (2019)…
|
Về trang trước
Về đầu trang
